Question

如图所示，曲面AB与半径r、内壁光滑的四分之一细圆管BC平滑连接于B点，管口B端切线水平，管口C端正下方自

如图所示，曲面AB与半径r、内壁光滑的四分之一细圆管BC平滑连接于B点，管口B端切线水平，管口C端正下方自立一根轻弹簧，轻弹簧一端固定，另一端恰好与管口C端齐平，质量为m的小球（可视为质点）在曲面上某点由静止释放，进入管口B端时，上管壁对小球的作用力为mg．（1）求小球达到B点时的速度大小vB；（2）若释放点距B点高度为2r，求小球在曲面AB上运动时克服阻力所做的功W；（3）小球通过BC后压缩弹簧，压缩弹簧过程中弹簧性势能的最大值为Ep，求弹簧被压缩的最大形变量x．

Answer 1

（1）小球在B点受重力和拉力的作用做匀速圆周运动；由向心力公式可得：
F+mg=

m v 2 B

r

；
解得：v=

2gr

；
（2）小球从A滑到B，由动能定理有：
mg?2r-W=

1

2

mv_B²-0
解得：W=mgr；
（3）当弹性势能最大时，小球的速度为0，对小球从B到最低点的过程，由机械能守恒定律可知：
mg（r+x）+

1

2

mv_B²=E_p
解得：x=

Ep

mg

-2r
答：（1）小球达到B点时的速度大小为

2gr

（2）若释放点距B点高度为2r，求小球在曲面AB上运动时克服阻力所做的功W为mgr；
（3）小球通过BC后压缩弹簧，压缩弹簧过程中弹簧性势能的最大值为E_p，求弹簧被压缩的最大形变量为

Ep

mg

-2r．