Question

定义在R上的函数f（x）满足 f(x+2)=2f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)=( 2 x -1)( 2 x -4) ．

定义在R上的函数f（x）满足 f(x+2)=2f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)=( 2 x -1)( 2 x -4) ．若 f(x)在[-2n，-2n+2](n∈N*)上的最小值为- 9 32 ，则n（　　） A．1 B．4 C．2 D．3

Answer 1

①∵当x∈[0，2]时，f（x）= ( 2 x  -1)( 2 x  -4) ， ∴令2 x =t，得f（x）=（t-1）（t-4）=g（t） 当且仅当t= 5 2 时，[f（x）] min =g（ 5 2 ）=- 9 4 ，此时x= lo g 2 5 2 ∈[0.2]． ②当x∈[-2，0]时，f（x）= 1 2 f（x+2）= 1 2 ( 2 x+2  -1)( 2 x+2  -4) ， 类似①的方法，可得当x= lo g 2 5 8 ∈[-2，0）时，[f（x）] min =- 9 8 ； ③当x∈[-4，-2]时，f（x）= 1 2 f（x+2）= 1 4 ( 2 x+4  -1)( 2 x+4  -4) 类似①的方法，可得当x= lo g 2 5 32 ∈[-4，-2）时，[f（x）] min =- 9 16 ； ④当x∈[-6，-4]时，f（x）= 1 2 f（x+2）= 1 8 ( 2 x+6  -1)( 2 x+6  -4) 类似①的方法，可得当x= lo g 2 5 128 ∈[-4，-2）时，[f（x）] min =- 9 32 综上所述，若f（x）在[2n，2n+2]上的最小值为- 9 32 时，n=3 故选：D