Question

如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E. （1）求证

如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E. （1）求证：∠BCA=∠BAD；（2）求DE的长；（3）求证:BE是⊙O的切线.

Answer 1

（1）见解析；（2） ；(3)见解析.

试题分析：（1）根据BD=BA得出∠BDA=∠BAD，再由圆周角定理∠BCA=∠BDA即可得出结论. （2）判断△BED∽△CBA，利用对应边成比例的性质可求出DE的长度. （3）连接OB，OD，证明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，继而判断OB⊥DE，可得出结论. 试题解析：（1）证明：∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD. ∵∠BCA=∠BDA（圆周角定理）， ∴∠BCA=∠BAD. （2）∵∠BDE=∠CAB（圆周角定理），∠BED=∠CBA=90°， ∴△BED∽△CBA，∴. ∵BD="BA" =12，BC=5，∴根据勾股定理得：AC=13. ∴，解得：. （3）证明：连接OB，OD， 在△ABO和△DBO中，∵， ∴△ABO≌△DBO（SSS）. ∴∠DBO=∠ABO. ∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，∴∠DBO=∠BDC.∴OB∥ED. ∵BE⊥ED，∴EB⊥BO.∴OB⊥BE. ∵OB是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线.

Answer 2

（1）因为AB=DB所以∠BCA=∠BAD（等弦所对的圆周角相等）

（2）思路：求三角形ABC和三角形BCE相似

因为∠BCE=∠BDC+∠DBC（外角等于不相邻的内角和）

又因为∠BDC+∠DBC=∠BAC+∠DAC=∠DAB=∠BCA（等弦所对的圆周角相等，最后的已证）

因为BE⊥DC又因为∠ABC=90°，所以三角形ABC和三角形BCE相似

所以利用相似三角形对应边成比例求出求DE的长

（3）因为三角形ABC和三角形BCE相似（已证）

所以∠EBC=∠BAC（对应角相等）

又因为∠BAC=∠BDC（等弦对等圆周角）

所以∠EBC=∠BDC

所以:BE是⊙O的切线.（弦切角等于同弦上的圆周角）