Question

已知|M1M2|=2，点M与两定点M1，M2距离的比值是一个正数m．（1）试建立适当坐标系，求点M的轨迹方程，并说

已知|M1M2|=2，点M与两定点M1，M2距离的比值是一个正数m．（1）试建立适当坐标系，求点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么图形；（2）求当m=2时，点M的轨迹与以M1M2为直径的圆的公共点所在的直线方程．

Answer 1

（1）以线段M₁M₂的中点为原点，直线M₁M₂为x轴建立直角坐标系．
设M₁（-1，0），M₂（1，0），M（x，y）由已知得：

(x+1)2+y2

＝m

(x?1)2+y2

，（m＞0）
化简得：（m²-1）x²+（m²-1）y²-2（m²+1）x+m²-1=0…（4分）
当m=1时，点M在线段M₁M₂的垂直平分线上，方程为x=0，即y轴；
当m≠1时，配方得：(x?

m2+1

m2?1

)2+y2＝

4m2

(m2?1)2

表示圆心在(

m2+1

m2?1

，0)半径为

2m

|m2?1|

的圆．    
（2）当m=2时，点M的轨迹方程为3x²+3y²-10x+3=0，
以M₁M₂为直径的圆的方程为x²+y²=1，
∴点M的轨迹与以M₁M₂为直径的圆的公共点所在的直线方程为x=

3

5

．