Question

设A为n阶矩阵，α为n维列向量，若Aα≠0，但A2α=0，证明：向量组α，Aα线性无关

设A为n阶矩阵，α为n维列向量，若Aα≠0，但A2α=0，证明：向量组α，Aα线性无关．

Answer 1

证明：设k₁α+k₂Aα=0，（*）
则
k1Aα+k2A2α＝0
由A²α=0，得
k₁Aα=0
而Aα≠0
因此k₁=0
代入（*），得
k₂Aα=0
再次由Aα≠0，得k₂=0
∴向量组α，Aα线性无关．