Question

如图，ABCD是正方形，O是该正方形的中心，P是平面ABCD外一点，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（1）PA

如图，ABCD是正方形，O是该正方形的中心，P是平面ABCD外一点，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（1）PA ∥ 平面BDE；（2）平面EBD⊥平面PAC；（3）若PA=AB=4，求四棱锥P-ABCD的全面积．

Answer 1

（1）证明：如图所示，连接OE， ∵O是正方形ABCD的中心，∴OC=OA， ∵E是PC的中点．∴CE=EP． ∴OE ∥ AP， ∵PA?平面BDE，OE?平面BDE， ∴PA ∥ 平面BDE； （2）证明：∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD． 由正方形可得：BD⊥AC， 又PO∩AC=O，∴BD⊥平面PAC． 而BD?BED，∴平面BED⊥平面PAC． （3）∵PO⊥底面ABCD，OA=OB，∴PA= O A 2 +O P 2 = O B 2 +O P 2 =PB，同理，PB=PC=PD． ∵PA=AB，∴△PAB是等边三角形，且△PAB≌△PBC≌△PCD≌△PDA． 而 S 正方形ABCD = 4 2 =16， S △PAB = 3 4 ?A B 2 =4 3 ． ∴四棱锥P-ABCD的全面积=S 正方形ABCD +4S △PAB =16+16 3 ．