Question

如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长AB=1，E是PC的中点．（1）求证：PA∥

如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长AB=1，E是PC的中点．（1）求证：PA∥面BDE；（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；（3）若二面角E-BD-C为30°，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

解答：（1）证明：连结OE，如图所示．
∵O、E分别为AC、PC的中点，∴OE∥PA．
∵OE?面BDE，PA?面BDE，
∴PA∥面BDE．
（2）证明：∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥BD．
在正方形ABCD中，BD⊥AC，
又∵PO∩AC=O，∴BD⊥面PAC．
又∵BD?面BDE，∴面PAC⊥面BDE．
（3）解：取OC中点F，连结EF．∵E为PC中点，
∴EF为△POC的中位线，∴EF∥PO．
又∵PO⊥面ABCD，∴EF⊥面ABCD．
∵OF⊥BD，∴OE⊥BD．
∴∠EOF为二面角E-BD-C的平面角，∴∠EOF=30°．
在Rt△OEF中，OF=

1

2

OC=

1

4

AC=

2

4

，
∴EF＝OF?tan300＝

6

12

，
∴PO＝2EF＝

6

6

．
∴VP?ABCD＝

1

3

×1×

6

6

＝

6

18

．