Question

如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F 1 ，F 2 ，线段OF 1 ，OF 2 的

如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F 1 ，F 2 ，线段OF 1 ，OF 2 的中点分别为B 1 ，B 2 ，且△AB 1 B 2 是面积为4的直角三角形． (1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1 作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB 2 ⊥QB 2 ，求直线l的方程．

Answer 1

(1) ＋ ＝1，e＝  ；(2) x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0.

试题分析：(1)设所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1(a>b>0)，右焦点为F 2 (c,0)．因为△AB 1 B 2 是直角三角形，又|AB 1 |＝|AB 2 |，故∠B 1 AB 2 为直角，因此|OA|＝|OB 2 |，得b＝ . 结合c 2 ＝a 2 －b 2 ，得4b 2 ＝a 2 －b 2 ，故a 2 ＝5b 2 ，c 2 ＝4b 2 ，∴离心率e＝ ＝ . 在Rt△AB 1 B 2 中，OA⊥B 1 B 2 ，故S△AB 1 B 2 ＝ |B 1 B 2 |·|OA|＝|OB 2 |·|OA|＝ b＝b 2 . 由题设条件S△AB 1 B 2 ＝4，得b 2 ＝4，从而a 2 ＝5b 2 ＝20. 因此所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. (2)由(1)，知B 1 (－2,0)，B 2 (2,0)．由题意，知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为x＝my－2，代入椭圆方程，得(m 2 ＋5)y 2 －4my－16＝0. 设P(x 1 ，y 1 )，Q(x 2 ，y 2 )，则y 1 ，y 2 是上面方程的两根，因此y 1 ＋y 2 ＝ ，y 1 ·y 2 ＝－ . 又 ＝(x 1 －2，y 1 )， ＝(x 2 －2，y 2 )， ∴ · ＝(x 1 －2)(x 2 －2)＋y 1 y 2 ＝(my 1 －4)(my 2 －4)＋y 1 y 2 ＝(m 2 ＋1)y 1 y 2 －4m(y 1 ＋y 2 )＋16＝－ － ＋16＝－ . 由PB 2 ⊥QB 1 ，得 · ＝0，即16m 2 －64＝0，解得m＝±2. ∴满足条件的直线有两条，其方程分别为x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0. 点评：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．