Question

设对任意实数x∈[-1，1]，不等式x 2 +ax-3a＜0恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A．a＞0 B． a＞

设对任意实数x∈[-1，1]，不等式x 2 +ax-3a＜0恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A．a＞0 B． a＞ 1 2 C．a＞0或a＜-12 D． a＞ 1 4

Answer 1

解法一：y=x 2 +ax-3a的对称轴是x= - a 2 ． ①当- a 2 ≥1，即a≤-2时，x=-1离对称轴最远，而函数开口向上，所以有最大值， 其最大值是a＞ 1 4 ，与a≤-2相矛盾． ∴a∈?； ②当 -1＜- a 2 ＜1 ，即-2＜a＜2时， x=-1或x=1时，有最大值． 由①知，x=-1有最大值时，其最大值是a＞ 1 4 ，故 1 4 ＜a＜2 ； 当x=1有最大值时，其最大值是1-2a＜0，即a ＞ 1 2 ，故 1 2 ＜a＜2 ． ∴ 1 2 ＜a＜2 ； ③当 - a 2 ≤-1，即a≥2时， x=1时有最大值， 其最大值是1-2a＜0，a ＞ 1 2 ， ∴a≥2． 综上所述，a＞ 1 2 ． 故选B． 解法二：设f（x）=x 2 +ax-3a， ∵对任意实数x∈[-1，1]，不等式x 2 +ax-3a＜0恒成立， ∴ f(-1)=1-a-3a＜0 f(1)=1+a-3a＜0 ， 即 1-4a＜0 1-2a＜0 ， ∴ a＞ 1 4 a＞ 1 2 ，故 a＞ 1 2 ． 故选B．