Question

设各项均为正数的数列{a n }的前n项和为S n ，已知2a 2 =a 1 +a 3 ，数列 是公差为d的等差数列，(Ⅰ)求

设各项均为正数的数列{a n }的前n项和为S n ，已知2a 2 =a 1 +a 3 ，数列 是公差为d的等差数列，(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式（用n，d表示）； (Ⅱ)设c为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式S m +S n ＞cS k 都成立，求证：c的最大值为 。

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Answer 1

解：(Ⅰ)由题设知， ， 则当n≥2时， ， 由 得 ， 解得 =d， 故当n≥2时，a n =2nd 2 -d 2 ， 又a 1 =d 2 ， 所以数列{a n }的通项公式为a n =(2n-1)d 2 ． (Ⅱ)由 =d及 ， 得d＞0，S n =d 2 n 2 ， 于是，对满足题设的m，n，k，m≠n， 有 ， 所以c的最大值 ； 另一方面，任取实数 ， 设k为偶数，令 ，则m，n，k符合条件， 且 ， 于是，只要9k 2 +4＜2ak 2 ， 即当 时，就有 ， 所以满足条件的 ，从而 ， 因此c的最大值为 。