Question

如图，设抛物线方程为x 2 =2py（p＞0），M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B。

如图，设抛物线方程为x 2 =2py（p＞0），M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B。 （1）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；（2）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，|AB|= ，求此时抛物线的方程；（3）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x 2 =2py（p＞0）上，其中，点C满足 （O为坐标原点），若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由。

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Answer 1

解：（1）由题意设 由 得 ，则 所以 因此直线MA的方程为 　　　　　　　　 直线MB的方程为 所以 ① ② 由①、②得 　　 因此 ，即 所以A、M、B三点的横坐标成等差数列。 （2）解：由（1）知，当x 0 =2时，将其代入①、②并整理得：   ， 所以，x 1 、x 2 是方程 的两根， 因此 又 所以 由弦长公式得 又 ， 所以p=1或p=2， 因此所求抛物线方程为 或 。 （3）解：设D（x 3 ，y 3 ），由题意得C（x 1 + x 2 ，y 1 + y 2 ）， 则CD的中点坐标为 　 设直线AB的方程为 　 由点Q在直线AB上，并注意到点 也在直线AB上， 代入得 　 若D（x 3 ，y 3 ）在抛物线上，则 因此，x 3 =0或x 3 =2x 0 即D（0，0）或 （i）当x 0 =0时，则 ，此时，点M（0，-2p）适合题意； （ii）当 ，对于D（0，0），此时 又 ，AB⊥CD， 所以 即 矛盾 对于 ，因为 此时直线CD平行于y轴， 又 所以，直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾， 所以 时，不存在符合题意的M点 综上所述，仅存在一点M（0，-2p）适合题意。