Question

已知函数f（x）=lnx-ax2-x，a∈R．（1）若函数y=f（x）在其定义域内是单调增函数，求实数a的取值范围；（

已知函数f（x）=lnx-ax2-x，a∈R．（1）若函数y=f（x）在其定义域内是单调增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数y=f（x）的图象被点P（2，f（2））分成的两部分为c1，c2，（点P除外），该函数图象在点P处的切线为l，求证：当a=-18时，c1，c2分别完全位于直线l的两侧．（3）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．

Answer 1

（1）由题意得，函数的定义域是（0，+∞）
f′(x)＝

1

x

?2ax?1＝?

2ax2+x?1

x

(x＞0)，------------（2分）
只需要2ax²+x-1≤0，即2a≤

1

x2

?

1

x

＝(

1

x

?

1

2

)2?

1

4

，
解得，a≤?

1

8

．---------------------------------------（4分）
（2）证明：把a=?

1

8

代入得，数f（x）=lnx+

1

8

x²-x，
∴f′(x)＝

1

x

+

1

4

x?1，且f′（2）=0，f（2）=ln2?

3

2

，
∴切线l的方程为y＝ln2?

3

2

．--------------------------------------------（6分）
令g(x)＝lnx+

1

8

x2?x?(ln2?

3

2

)，则g（2）=0．
∵g′(x)＝

1

x

+

1

4

x?1＝

( x 2 ?1)2

x

≥0，---------------------------------（8分）
∴g（x）是单调增函数，
当x∈（2，+∞）时，g（x）＞g（2）=0；
当x∈（0，2）时，g（x）＜g（2）=0，
∴c₁，c₂分别完全位于直线l的两侧．--------------------------（10分）
（3）设切点P（x₀，f（x₀）），由函数的定义域知x₀＞0，
则曲线y=f（x）在点P处的切线为l：y=f′（x₀）（x-x₀）+f（x₀），
令g（x）=f（x）-[f′（x₀）（x-x₀）+f（x₀）]，
∵切点P在切线l上，也在曲线上，∴g（x₀）=0，
∵g′（x）=f′（x）-f′（x₀），f′(x)＝

1

x

?2ax?1（x＞0），
∴g′(x)＝

1

x

?2ax?(

1

x0

?2ax0)，
则g′(x)＝?

(x?x0)(2ax0x+1)

x0x

，且g′（x₀）=0，
①当a≥0时，?x∈（0，x₀），g'（x）＞0；?x∈（x₀+∞），g'（x）＜0，
∴g（x）在（0，x₀）上单调递增，在（x₀，+∞）上单调递减，
∴g（x）=0只有唯一解x₀，而x₀是任意选取的值，故不满足题意；----（12分）
②当a＜0时，g″(x)＝f″(x)＝?

1

x2

?2a，记g″(m)＝?

1

m2

?2a＝0，则m＝

? 1 2a

．
（i）若x₀=m，则g'（x）在（0，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增，
g'（x）≥g'（x₀）=0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴g（x）=0只有唯一解x＝

? 1 2a

，
（ii）若x₀＜m，则?（0，m），g''（x）＜0；?（m，+∞），g''（x）＞0，
∴g'（x）在（0，m）上单调递减，在（m，+∞）上单调递增
此时存在x₁∈（m，+∞），使得g'（x₁）=0，
∴?（0，x₀）∪（x₁，+∞），g'（x）＞0；?（x₀，x₁），g'（x₁）＜0，
∴g'（x）在（0，x₀）和（x₁，+∞）上单调递增，在（x₀，x₁）上单调递减，
此时存在x₂∈（x₁，+∞），使得g（x₂）=0，∴g（x）有两个零点．
（iii）若x₀＞m，
则?（0，m），g''（x）＜0；?（m，+∞），g''（x）＞0，
∴g'（x）在（0，m）上单调递减，在（m，+∞）上单调递增
此时存在x₁∈（0，m），使得g'（x₁）=0，
∴?（0，x₁）∪（x₀，+∞），g'（x）＞0；?（x₁，x₀），g'（x₁）＜0，
∴g'（x）在（0，x₁）和（x₀，+∞）上单调递增，在（x₁，x₀）上单调递减
此时存在x₂∈（0，x₁），使得g（x₂）=0，∴g（x）有两个零点．
综上所述，当a＜0时，曲线y=f（x）上存在唯一的点P(

? 1 2a

，f(

? 1 2a

))，
曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．----------------------------（16分）