Question

设函数f（x）=ax2+ex（a∈R）有且仅有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．（1）求实数a的取值范围；（2）是否存

设函数f（x）=ax2+ex（a∈R）有且仅有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．（1）求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a满足f（x1）=e 23x1？如存在，求f（x）的极大值；如不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）f′（x）=2ax+e^x．
显然a≠0，x₁，x₂是直线y=?

1

2a

与曲线y=g（x）=

x

ex

两交点的横坐标
由g′（x）=

1?x

ex

=0，得x=1．列表：

x	（-∞，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	+	0	-
g（x）	↗	g（x）max= 1 e	↘

此外注意到：
当x＜0时，g（x）＜0；
当x∈[0，1]及x∈（1，+∞）时，g（x）的取值范围分别为[0，

1

e

]和（0，

1

e

）．
于是题设等价于0＜?

1

2a

＜

1

e

?a＜?

e

2

，故实数a的取值范围为（-∞，-

e

2

）
（2）存在实数a满足题设．证明如下：
由（1）知，0＜x₁＜1＜x₂，f′（x₁）=2ax₁+ex1=0，
故f（x₁）=ax12+ex1=ex1?

x1

2

ex1=e 

2

3

x₁，故

ee1

x1

?

1

2

ex1?e

2

3

=0
记R（x）=

ex

x

?

1

2

ex?e

2

3

（0＜x＜1），则R′(x)＝

ex(x?1)

x2

?

1

2

ex＜0，
于是，R（x）在（0，1）上单调递减．
又R（

2

3

）=0，故R（x）有唯一的零点x=

2

3

．
从而，满足f（x₁）=e 

2

3

x的x₁=

2

3

．所以，a=?

3

4

e

2

3

，
此时f（x）=?

3

4

e

2

3

x2+ex，f′(x)＝?

3

2

e

2

3

x+ex，
又f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0，而x₁=

2

3

∈（0，1），
故当a=?

3

4

e

2

3

时，f（x）_极大=f（x₁）=

2

3

e

2

3

．