Question

已知数列{an}满足a1=1，a2=3，且an+2=（1+2|cosnπ2|）an+|sinnπ2|，n∈N*．（1）证明：数列{a2n}（n∈N

已知数列{an}满足a1=1，a2=3，且an+2=（1+2|cosnπ2|）an+|sinnπ2|，n∈N*．（1）证明：数列{a2n}（n∈N*}为等比数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）设bk=a2k+（-1）k-1λ?2 a2k?1（λ为非零整数），试确定λ的值，使得对任意k∈N*都有bk+1＞bk成立．

Answer 1

（1）设n=2k（k∈N^*）
∵a_2k+2=（1+2|coskπ|）a_2k+|sinkπ|=3a_2k，又a₂=3，
∴当n∈N^*时，数列{a_2n}为首项为3，公比为3的等比数列；…4'
（2）设n=2k-1（k∈N^*）
由a_2k+1=（1+2|cos（k-

1

2

）π|）a_2k-1+|sin（k-

1

2

）π|=a_2k-1+1
∴当k∈N^*时，{a_2k-1}是等差数列
∴a_2k-1=a₁+（k-1）?1=k…6'
又由（1）当k∈N^*时，数列{a_2k}为首项为3，公比为3的等比数列
∴a_2k=a₂?3^k-1=3^k…6'
综上，数列{a_n}的通项公式为an＝

n+1 2 (n为奇数) 3 n 2 (n为偶数)

…8'
（3）b_k=a_2k+（-1）^k-1λ?2 a2k?1=3^k+（-1）^k-1λ?2^k，
∴b_k+1-b_k=3^k+1+（-1）^kλ?2^k+1-3^k-（-1）^k-1λ?2^k=2?3^k+（-1）^kλ?3?2^k
由题意，对任意k∈N^*都有b_k+1＞b_k成立
∴b_k+1-b_k=2?3^k+（-1）^kλ?3?2^k＞0恒成立
即2?3^k＞（-1）^k-1λ?3?2^k对任意k∈N^*恒成立…11'
①当k为奇数时，
2?3^k＞λ?3?2^k?λ＜

2?3k

3?2k

＝

2

3

?(

3

2

)k对任意k∈N^*恒成立
∵k∈N^*，且k为奇数，
∴

2

3

?(

3

2

)k≥

2

3

?

3

2

=1
∴λ＜1…13'
②当k为偶数时，
2?3^k＞-λ?3?2^k?λ＞-

2?3k

3?2k

＝?

2

3

?(

3

2

)k对任意k∈N^*恒成立
∵k∈N^*，且k为偶数，
∴-

2

3

?(

3

2

)k≤-

2

3

?(

3

2

)2＝?

3

2

，
∴λ＞-

3

2

…15'
综上：有-

3

2

＜λ＜1…12'
∵λ为非零整数，∴λ=-1．…16'