Question

设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=（2a-c）cosB．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求si

设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=（2a-c）cosB．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．．

Answer 1

（I）由条件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB=2sinAcosB-sinCcosB． 则sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB． ∴sin（B+C）=2sinAcosB，又sin（B+C）=sinA≠0， ∴ cosB= 1 2 ，又0＜B＜π， ∴ B= π 3 ． （Ⅱ）由A+B+C=π及 B= π 3 ，得 C= 2 3 π-A ． 又△ABC为锐角三角形， ∴ 0＜A＜ π 2 0＜ 2 3 π-A＜ π 2 . ∴ π 6 ＜A＜ π 2 ． sinA+sinC=sinA+sin( 2 3 π-A)= 3 2 sinA+ 3 2 cosA= 3 sin(A+ π 6 ) ． 又 A+ π 6 ∈( π 3 ，   2 3 π) ， ∴ sin(A+ π 6 )∈( 3 2 ，  1] ． ∴ sinA+sinC∈( 3 2 ，   3 ] ．