设A与B为n阶相似矩阵,则下列结论中不正确的是( )A.r(E-A)=r(E-B)B.A,B同时可对角化或同时不
设A与B为n阶相似矩阵,则下列结论中不正确的是()A.r(E-A)=r(E-B)B.A,B同时可对角化或同时不可对角化C.|2E+A|=|2E+B|D.A,B具有相同的特...
设A与B为n阶相似矩阵,则下列结论中不正确的是( )A.r(E-A)=r(E-B)B.A,B同时可对角化或同时不可对角化C.|2E+A|=|2E+B|D.A,B具有相同的特征值与特征向量
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由于A与B为n阶相似矩阵,因此存在可逆矩阵P,满足B=P-1AP
∴①选项A.由于E-B=P-1(E-A)P,即矩阵E-B可以通过矩阵E-A施行初等变换得到,因此r(E-A)=r(E-B),故A正确;
②选项B.假如矩阵B可以对角化,即存在可逆矩阵Q,使得Q-1BQ=∧,其中∧为对角阵,则
存在可逆矩阵PQ,使得(PQ)-1A(PQ)=∧,即A也可以对角化
同理,若A可以对角化,则B也可以对角化
但若B不可以对角化,则A也不可以对角化
故B正确;
③选项C.由于|2E+B|=|P-1(2E+A)P|=|P-1|?|2E+A|?|P|=|2E+A|,故C正确;
④选项D.|B-λE|=|P-1AP-λP-1P|=|P-1|?|A-λE|?|P|=|A-λE|
即A与B具有相同的特征多项式,从而有相同的特征值
但是,它们不一定有相同的特征向量(如果A=B,它们具有相同的特征向量)
故D错误
故选:D
∴①选项A.由于E-B=P-1(E-A)P,即矩阵E-B可以通过矩阵E-A施行初等变换得到,因此r(E-A)=r(E-B),故A正确;
②选项B.假如矩阵B可以对角化,即存在可逆矩阵Q,使得Q-1BQ=∧,其中∧为对角阵,则
存在可逆矩阵PQ,使得(PQ)-1A(PQ)=∧,即A也可以对角化
同理,若A可以对角化,则B也可以对角化
但若B不可以对角化,则A也不可以对角化
故B正确;
③选项C.由于|2E+B|=|P-1(2E+A)P|=|P-1|?|2E+A|?|P|=|2E+A|,故C正确;
④选项D.|B-λE|=|P-1AP-λP-1P|=|P-1|?|A-λE|?|P|=|A-λE|
即A与B具有相同的特征多项式,从而有相同的特征值
但是,它们不一定有相同的特征向量(如果A=B,它们具有相同的特征向量)
故D错误
故选:D
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