Question

已知：如图，矩形ABCD中，点E、F分别在DC，AB边上，且点A、F、C在以点E为圆心，EC为半径的圆上，连接CF，

已知：如图，矩形ABCD中，点E、F分别在DC，AB边上，且点A、F、C在以点E为圆心，EC为半径的圆上，连接CF，作EG⊥CF于G，交AC于H．已知AB=6，设BC=x，AF=y．（1）求证：∠CAB=∠CEG；（2）①求y与x之间的函数关系式． ②x=______时，点F是AB的中点；（3）当x为何值时，点F是AC的中点，以A、E、C、F为顶点的四边形是何种特殊四边形？试说明理由．

Answer 1

解：（1）证明：连接EF（如图1）
∵点A、F、C在以点E为圆心，EC为半径的圆上，
∴EF=EC，∵EG⊥CF，∴∠CEF=2∠CEG
∵∠CEF=2∠CAB，∴∠CAB=∠CEG；（3分）

（2）（如图2）
①连接EF、EA．设⊙E的半径为r；
在Rt△ADE中，EA=r，DE=6-r，AD=x，
∴x²+（6-r）²=r²，r=

1

12

x²+3，
∵EF=EA，∴AF=2DE，
即y=2（6-r）=-

1

6

x²+6，（6分）
②点F是AB的中点时，y=3，
即-

1

6

x²+6=3，∴x=3

2

；（8分）

（3）（如图3）；
当x=2

3

时，F是弧AC的中点．此时四边形AECF菱形；（9分）
理由如下：
∵点F是弧AC的中点，∴∠AEF=∠CEF，AF=CF，
∵AB∥CD，
∴∠AFE=∠CEF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∵AE=EF，
∴AE=AF=CE=CF，∴△AEF和△CEF都是正三角形，
∴四边形AECF是菱形，且∠CEF=60°，
∴∠BCF=30°，∴BF=

1

2

CF=

1

2

AF=

1

3

AB=2，BC=2

3

．（12分）