Question

已知a为实数，f（x）=（x2-4）（x-a）．（1）若f（x）在（-∞，-2]和[2，+∞）上都是递增的，求a的取值范

已知a为实数，f（x）=（x2-4）（x-a）．（1）若f（x）在（-∞，-2]和[2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围．（2）若函数g（x）=f（x）+ax2在定义域内有三个零点，求a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）在（-∞，-2]和[2，+∞）上都是递增的，
∴x∈（-∞，-2]时，f'（x）=3x²-2ax-4≥0，即：a≥

3x2?4

2x

恒成立；
且x∈[2，+∞）时，f'（x）=3x²-2ax-4≥0，即：a≤

3x2?4

2x

也恒成立；
令g(x)＝

3x2?4

2x

＝

1

2

(3x?

4

x

)，则x∈（-∞，-2]时，g（x）为增函数，
g（x）_max=-2；x∈[2，+∞）时，g（x）为增函数，g（x）_min=2
∴-2≤a≤2，故a的取值范围为[-2，2]．
（2）∵g（x）=f（x）+ax²=x³-4x+4a，得g'（x）=3x²-4，
令g′（x）=0，得x＝±

2 3

3

，
当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下表：

x	(?∞，? 2 3 3 )	? 2 3 3	(? 2 3 3 ， 2 3 3 )	2 3 3	( 2 3 3 ，+∞)
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴g(x)极大值＝g(?

2 3

3

)＝

16 3

9

+4a
∴g(x)极小值＝g(?

2 3

3

)＝?

16 3

9

+4a
∵g（x）在R上有三个零点，则∴

g(x)极大值＞0 g(x)极小值＜0

即

16 3 9 +4a＞0 ? 16 3 9 +4a＜0

∴