Question

如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，且A1A=4．梯形ABCD的面积为6，且AD∥BC，AD=2BC，CD=2．平

如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，且A1A=4．梯形ABCD的面积为6，且AD∥BC，AD=2BC，CD=2．平面A1DCE与B1B交于点E．（1）证明：EC∥A1D；（2）求三棱锥C-A1AB的体积；（3）求二面角A1-DC-A的大小．

Answer 1

解答：（本小题满分14分）
解：（1）证明：因为BE∥AA₁，AA₁?平面AA₁D，BE?平面AA₁D，所以BE∥平面AA₁D．（1分）
因为BC∥AD，AD?平面AA₁D，BC?平面AA₁D，所以BC∥平面AA₁D．（2分）
又BE∩BC=B，BE?平面BCE，BC?平面BCE，所以平面BCE∥平面ADA₁．（3分）
又平面A₁DCE∩平面BCE=EC，平面A₁DCE∩平面A₁AD=A₁D，
所以EC∥A₁D．（4分）
（2）解：因为S_梯形ABCD=6，BC∥AD，AD=2BC，所以S△ABC＝

1

2

S△ACD＝

1

3

S梯形ABCD＝2．
（6分）
所以VC?A1AB＝VA1?ABC＝

1

3

A1AS△ABC＝

1

3

×4×2＝

8

3

．（8分）
（3）解法一：如图，在△ADC中，作AF⊥CD于F，连接A₁F．（9分）
因为A₁A⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，
所以CD⊥A₁A．
又A₁A∩AF=A，所以CD⊥面A₁AF．
又A₁F?面A₁AF，所以CD⊥A₁F．（10分）
所以∠A₁FA为二面角A₁-DC-A的平面角．（11分）
由（2）得S△ACD＝

2

3

S梯形ABCD＝4，所以AF＝

2S△ACD

CD

＝4．（12分）
所以tan∠A1FA＝

A1A

AF

＝1，（13分）
所以∠A1FA＝

π

4

，即二面角A₁-DC-A的大小为

π

4

．（14分）
解法二：如图，以D为坐标原点，

DA

，

DD1

分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系．（9分）
设∠CDA=θ，BC=a，则AD=2a．
因为S梯形ABCD＝

a+2a

2

?2sinθ＝6，所以a＝

2

sinθ

．（10分）
所以C（2cosθ，2sinθ，0），A1(

4

sinθ

，0，4)，
所以

DC

＝(2cosθ，2sinθ，0)，

DA1

＝(

4

sinθ

，0，4)．（11分）
设平面A₁DC的一个法向量

n

＝(x，y，1)，
由

DA1 ? n ＝ 4 sinθ x+4＝0 DC ? n ＝2xcosθ+2ysinθ＝0

，得

x＝?sinθ y＝cosθ

，所以

n

＝(?sinθ，cosθ，1)．（12分）
又平面ABCD的一个法向量

m

＝(0，0，1)，（13分）
所以cos＜

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