如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A⊥底面ABCD,且A1A=4.梯形ABCD的面积为6,且AD∥BC,AD=2BC,CD=2.平

如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A⊥底面ABCD,且A1A=4.梯形ABCD的面积为6,且AD∥BC,AD=2BC,CD=2.平面A1DCE与B1B交于点E... 如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A⊥底面ABCD,且A1A=4.梯形ABCD的面积为6,且AD∥BC,AD=2BC,CD=2.平面A1DCE与B1B交于点E.(1)证明:EC∥A1D;(2)求三棱锥C-A1AB的体积;(3)求二面角A1-DC-A的大小. 展开
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解答:(本小题满分14分)
解:(1)证明:因为BE∥AA1,AA1?平面AA1D,BE?平面AA1D,所以BE∥平面AA1D.(1分)
因为BC∥AD,AD?平面AA1D,BC?平面AA1D,所以BC∥平面AA1D.(2分)
又BE∩BC=B,BE?平面BCE,BC?平面BCE,所以平面BCE∥平面ADA1.(3分)
又平面A1DCE∩平面BCE=EC,平面A1DCE∩平面A1AD=A1D,
所以EC∥A1D.(4分)
(2)解:因为S梯形ABCD=6,BC∥AD,AD=2BC,所以S△ABC
1
2
S△ACD
1
3
S梯形ABCD=2

(6分)
所以VC?A1ABVA1?ABC
1
3
A1AS△ABC
1
3
×4×2=
8
3
.(8分)
(3)解法一:如图,在△ADC中,作AF⊥CD于F,连接A1F.(9分)
因为A1A⊥底面ABCD,CD?底面ABCD,
所以CD⊥A1A.
又A1A∩AF=A,所以CD⊥面A1AF.
又A1F?面A1AF,所以CD⊥A1F.(10分)
所以∠A1FA为二面角A1-DC-A的平面角.(11分)
由(2)得S△ACD
2
3
S梯形ABCD=4
,所以AF=
2S△ACD
CD
=4
.(12分)
所以tan∠A1FA=
A1A
AF
=1
,(13分)
所以A1FA=
π
4
,即二面角A1-DC-A的大小为
π
4
.(14分)
解法二:如图,以D为坐标原点,
DA
DD1
分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系.(9分)
设∠CDA=θ,BC=a,则AD=2a.
因为S梯形ABCD
a+2a
2
?2sinθ=6
,所以a=
2
sinθ
.(10分)
所以C(2cosθ,2sinθ,0),A1(
4
sinθ
,0,4)

所以
DC
=(2cosθ,2sinθ,0)
DA1
=(
4
sinθ
,0,4)
.(11分)
设平面A1DC的一个法向量
n
=(x,y,1)

DA1
?
n
4
sinθ
x+4=0
DC
?
n
=2xcosθ+2ysinθ=0
,得
x=?sinθ
y=cosθ
,所以
n
=(?sinθ,cosθ,1)
.(12分)
又平面ABCD的一个法向量
m
=(0,0,1)
,(13分)
所以cos<
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