如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A⊥底面ABCD,且A1A=4.梯形ABCD的面积为6,且AD∥BC,AD=2BC,CD=2.平
如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A⊥底面ABCD,且A1A=4.梯形ABCD的面积为6,且AD∥BC,AD=2BC,CD=2.平面A1DCE与B1B交于点E...
如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A⊥底面ABCD,且A1A=4.梯形ABCD的面积为6,且AD∥BC,AD=2BC,CD=2.平面A1DCE与B1B交于点E.(1)证明:EC∥A1D;(2)求三棱锥C-A1AB的体积;(3)求二面角A1-DC-A的大小.
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解答:(本小题满分14分)
解:(1)证明:因为BE∥AA1,AA1?平面AA1D,BE?平面AA1D,所以BE∥平面AA1D.(1分)
因为BC∥AD,AD?平面AA1D,BC?平面AA1D,所以BC∥平面AA1D.(2分)
又BE∩BC=B,BE?平面BCE,BC?平面BCE,所以平面BCE∥平面ADA1.(3分)
又平面A1DCE∩平面BCE=EC,平面A1DCE∩平面A1AD=A1D,
所以EC∥A1D.(4分)
(2)解:因为S梯形ABCD=6,BC∥AD,AD=2BC,所以S△ABC=
S△ACD=
S梯形ABCD=2.
(6分)
所以VC?A1AB=VA1?ABC=
A1AS△ABC=
×4×2=
.(8分)
(3)解法一:如图,在△ADC中,作AF⊥CD于F,连接A1F.(9分)
因为A1A⊥底面ABCD,CD?底面ABCD,
所以CD⊥A1A.
又A1A∩AF=A,所以CD⊥面A1AF.
又A1F?面A1AF,所以CD⊥A1F.(10分)
所以∠A1FA为二面角A1-DC-A的平面角.(11分)
由(2)得S△ACD=
S梯形ABCD=4,所以AF=
=4.(12分)
所以tan∠A1FA=
=1,(13分)
所以∠A1FA=
,即二面角A1-DC-A的大小为
.(14分)
解法二:如图,以D为坐标原点,
,
分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系.(9分)
设∠CDA=θ,BC=a,则AD=2a.
因为S梯形ABCD=
?2sinθ=6,所以a=
.(10分)
所以C(2cosθ,2sinθ,0),A1(
,0,4),
所以
=(2cosθ,2sinθ,0),
=(
,0,4).(11分)
设平面A1DC的一个法向量
=(x,y,1),
由
,得
,所以
=(?sinθ,cosθ,1).(12分)
又平面ABCD的一个法向量
=(0,0,1),(13分)
所以cos<
解:(1)证明:因为BE∥AA1,AA1?平面AA1D,BE?平面AA1D,所以BE∥平面AA1D.(1分)
因为BC∥AD,AD?平面AA1D,BC?平面AA1D,所以BC∥平面AA1D.(2分)
又BE∩BC=B,BE?平面BCE,BC?平面BCE,所以平面BCE∥平面ADA1.(3分)
又平面A1DCE∩平面BCE=EC,平面A1DCE∩平面A1AD=A1D,
所以EC∥A1D.(4分)
(2)解:因为S梯形ABCD=6,BC∥AD,AD=2BC,所以S△ABC=
1 |
2 |
1 |
3 |
(6分)
所以VC?A1AB=VA1?ABC=
1 |
3 |
1 |
3 |
8 |
3 |
(3)解法一:如图,在△ADC中,作AF⊥CD于F,连接A1F.(9分)
因为A1A⊥底面ABCD,CD?底面ABCD,
所以CD⊥A1A.
又A1A∩AF=A,所以CD⊥面A1AF.
又A1F?面A1AF,所以CD⊥A1F.(10分)
所以∠A1FA为二面角A1-DC-A的平面角.(11分)
由(2)得S△ACD=
2 |
3 |
2S△ACD |
CD |
所以tan∠A1FA=
A1A |
AF |
所以∠A1FA=
π |
4 |
π |
4 |
解法二:如图,以D为坐标原点,
DA |
DD1 |
设∠CDA=θ,BC=a,则AD=2a.
因为S梯形ABCD=
a+2a |
2 |
2 |
sinθ |
所以C(2cosθ,2sinθ,0),A1(
4 |
sinθ |
所以
DC |
DA1 |
4 |
sinθ |
设平面A1DC的一个法向量
n |
由
|
|
n |
又平面ABCD的一个法向量
m |
所以cos<
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