Question

如图，已知棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，且AA1⊥面ABCD，∠DAB=60°，AD=AA1=1，F为棱AA1的中点，M为

如图，已知棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，且AA1⊥面ABCD，∠DAB=60°，AD=AA1=1，F为棱AA1的中点，M为线段BD1的中点．（Ⅰ）求证：MF∥面ABCD；（Ⅱ）判断直线MF与平面BDD1B1的位置关系，并证明你的结论；（Ⅲ）求三棱锥D1-BDF的体积．

Answer 1

解：（Ⅰ）连接AC、BD交于点O，再连接OM，
∵△BD₁D中，OM是中位线，∴OM∥D₁D且OM=

1

2

D₁D，
∵矩形AA₁D₁D中，AF∥D₁D且AF=

1

2

D₁D，
∴AF∥OM且AF=OM，可得四边形MOAF是平行四边形，
∴MF∥OA，
∵MF?平面ABCD，OA?平面ABCD，
∴MF∥平面ABCD；------（4分）
（Ⅱ）AC⊥平面BDD₁B₁，证明如下
在底面菱形ABCD中，AC⊥BD，
又∵BB₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD
∴AC⊥BB₁，
∵BB₁、BD是平面BDD₁B₁内的相交直线
∴AC⊥平面BDD₁B₁，
∵AC∥MF，∴AC⊥平面BDD₁B₁，------------（8分）
（Ⅲ）过点B作BH⊥AD，垂足为H，
∵AA₁⊥平面ABCD，BH?平面ABCD
∴BH⊥AA₁，
∵AD、AA₁是平面BDD₁B₁内的相交直线
∴BH⊥平面BDD₁B₁，
在Rt△ABH中，∠DAB=60°，AB=1，
∴BH=ABsin60°=

3

2

，
因此，三棱锥D₁-BDF的体积V=V_B-D1DF=

1

3

S_△DD1F?BH=

1

3

×

1

2

×1×1×

3

2

=

3

12

--------（12分）