Question

设二次函数f(x)满足f(x 2)=f(2-x)且f(x)=0的两实根平方和为10,图象过点(0,3)求f(x

请给出详细的过程。

Answer 1

设f(x)=ax²+bx+c
∵f(x+2)=f(2-x)，∴对称轴x=2，即
-b/2a=2——⑴
10=(x1)²+(x2)²=(x1+x2)²-2x1x2=(b²/a²)-2c/a——⑵
c=3——⑶
解得：a=1，b=-4，c=3
所以f(x)=x²-4x+3.

Answer 2

原题是不是[0，2]啊？这样我能解，若是（0，2）的话，就不太会了。我就按[0,2]算吧
1. f(1)=1
2. f(x)-x=ax2+(b-1)x+c,恒大于等于零，所以开口向上，a>0. c为与y轴交点坐标，故应该大于等于0. 若等于0，又要符合题意，则有b=0.又因为f(-1)=0,得a也等于0，矛盾，故c不等于0，因此得证c>0.
3. g(x)=ax2+(b-m)x+c,对称轴为(m-b)/2a 因为在[-1,1]上单调,故(m-b)/2a>=1 或<=-1.得m>=2a+b 或 m<=-2a+b. @
有f(-1)=0 f(1)=1 可知a+b+c=1 *,a-b+c=0 *,所以b=1/2=a+c.
则由@和*,有m>=2a+1-a-c=a-c+1 或m<=-2a+a+c=c-a.
故只需证明 a-c+1>=1 或 c-a<=0 既是证明a>=c.
由于[0,2]时,f(x)<=(x+1)2/4,代入0,得c<=1/4
又a+c=1/2,所以c=1/2-a<=1/4,
所以a>=1/4,所以a>=c
故得证.