Question

设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)且f(x)=0的两实根平方和为10，图像过点（0,3）求f(x)的解析式

Answer 1

解：设二次函数的解析式为：f(x)=ax^2+bx+c
因为二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)，所以二次函数的对称轴为：x=2，
即，-b/(2a)=2，即，b/a=-4，
f(x)=0的两实根平方和为10，根据韦达定理，(-b/a)^2-2c/a=10，
即，16-2c/a=10，
即c/a=3，
f(x)图像过点（0,3），
即c=3，
所以，a=1，b=-4，
综上所述，f(x)=x^2-4x+3

追问

由图像过点（0，3）， 得到 c= 3
由f(x+2)=f(2-x)得到：a(x+2)^2+b(x+2)+c=a(2-x)^2+b(2-x)+c 简化为 (8a+2b)x = 0
由f(x)=0的实根平方和为10得到: (b^2 + b^2 -4ac) / 4a^2 = 10
解得 a=-3/2 b= 6
f(x)= =-3/2 x^2+6x+3 这是我做的。请看看

追答

由f(x)=0的实根平方和为10得到: (b^2 + b^2 -4ac) / 4a^2 = 10
你这里是错的
(x1)^2=[-b+√(b^2-4ac)]^2/4a^2
(x2)^2=[-b-√(b^2-4ac)]^2/4a^2
(x1)^2+(x2)^2=[2b^2+2(b^2-4ac)]/4a^2
=(4b^2-8ac)/4a^2
=16-2c/a
=10
c/a=3，
而c=3，
所以a=1，
后面和上面一样.

ps：我就是“晴木随风”

Answer 2

如果二次函数f[x]满足f[a]=f[b],
那么，对称轴为x＝(a+b)/2
所以，对称轴为x=2
设函数为f[x]=ax^2+bx+c
f[x]的图像过点【0,3】，所以c＝3
设两个实根为x1，x2
则，x1＋x2＝－b/a，x1x2＝c/a
对称轴为x=2
则，x1＋x2＝4，
两个实根的平方和为10
则，（x1＋x2）^2－2x1x2＝10
即，x1x2＝3
代入得
b/a＝-4
c/a=3
c=3
解得，a＝1，b＝-4
所以，f[x]=x^2－4x＋3请采纳回答