Question

已知：关于x的方程mx 2 -3（m-1）x+2m-3=0。（1）求证：m取任何实数时，方程总有实数根；（2）若二次函数

已知：关于x的方程mx 2 -3（m-1）x+2m-3=0。（1）求证：m取任何实数时，方程总有实数根；（2）若二次函数y 1 =mx 2 -3（m-1）x+2m-3的图象关于y轴对称，①求二次函数y的解析式； ②已知一次函数y 2 =2x-2，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y 1 ≥y 2 均成立；（3）在（2）条件下，若二次函数y 3 =ax 2 +bx+c的图象经过点（-5，0），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y 1 ≥y 3 ≥y 2 均成立，求二次函数y 3 =ax 2 +bx+c的解析式。

Answer 1

解：（1）分两种情况： 当m=0时，原方程可化为3x-3=0，即x=1； ∴m=0时，原方程有实数根； 当m≠0时，原方程为关于x的一元二次方程， ∵△=[-3（m-1）] 2 -4m（2m-3）=m 2 -6m+9=（m-3） 2 ≥0， ∴方程有两个实数根； 综上可知：m取任何实数时，方程总有实数根； （2）①∵关于x的二次函数y 1 =mx 2 -3（m-1）x+2m-3的图象关于y轴对称； ∴3（m-1）=0，即m=1； ∴抛物线的解析式为：y 1 =x 2 -1； ②∵y 1 -y 2 =x 2 -1-（2x-2）=（x-1） 2 ≥0， ∴y 1 ≥y 2 （当且仅当x=1时，等号成立）； （3）由②知，当x=1时，y 1 =y 2 =0，即y 1 、y 2 的图象都经过（1，0）； ∵对应x的同一个值，y 1 ≥y 3 ≥y 2 成立， ∴y 3 =ax 2 +bx+c的图象必经过（1，0）， 又∵y 3 =ax 2 +bx+c经过（-5，0）， ∴y 3 =a（x-1）（x+5）=ax 2 +4ax-5a； 设y=y 3 -y 2 =ax 2 +4ax-5a-（2x-2）=ax 2 +（4a-2）x+（2-5a）； 对于x的同一个值，这三个函数对应的函数值y 1 ≥y 3 ≥y 2 成立， ∴y 3 -y 2 ≥0， ∴y=ax 2 +（4a-2）x+（2-5a）≥0； 根据y 1 、y 2 的图象知：a＞0， ∴y 最小 = ≥0 ∴（4a-2） 2 -4a（2-5a）≤0， ∴（3a-1） 2 ≤0， 而（3a-1） 2 ≥0，只有3a-1=0，解得a= ， ∴抛物线的解析式为：y 3 = x 2 + x- 。