如图所示，离心率为 的椭圆 上的点到其左焦点的距离的最大值为3，过椭圆 内一点 的两条直线分别与椭
如图所示，离心率为的椭圆上的点到其左焦点的距离的最大值为3，过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于点、和、，且满足，其中为常数，过点作的平行线交椭圆于、两点.（1）求椭圆的...
如图所示，离心率为 的椭圆 上的点到其左焦点的距离的最大值为3，过椭圆 内一点 的两条直线分别与椭圆交于点 、 和 、 ，且满足 ，其中 为常数，过点 作 的平行线交椭圆于 、 两点. （1）求椭圆 的方程；（2）若点 ，求直线 的方程，并证明点 平分线段 .
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| （1）  ；（2）详见解析． |
| 试题分析：（1）由题得  ， ，联立 解这个方程组即得.（2）首先求出直线MN的方程.由于MN过点P（1，1），故只要求出MN的斜率即可.又由于MN平行AB，故先求出直线AB的斜率.设 ，则 .由 可得点C的坐标，由 可得点D的坐标，将A、B、C、D的坐标代入椭圆方程得四个等式，利用这四个等式可整体求出 ，然后求出直线MN的方程，与椭圆方程联立可求得MN的中点坐标即为点P的坐标，从而问题得证 .（1）由题得 ， ，联立 解得 ， ， ，∴椭圆方程为 4分（2）方法一：设 ，由 可得 .∵点  在椭圆上，故 整理得：  6分又点  在椭圆上可知 ，故有  ①由 ，同理可得： ②②-①得：  ，即 9分又  2 ∥8 ，故
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