Question

已知函数f(x)＝ex?12x2?ax（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；

已知函数f(x)＝ex?12x2?ax（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（Ⅱ）若函数在R上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f′（x）=e^x-x-a，
∴f′（0）=1-a=2，解得：a=-1，
∴f（x）=e^x-

1

2

x²+x，
∴f（0）=1，
∴1=2×0+b，解得：b=1．
（Ⅱ）由题意f′（x）＞0，即e^x-x-a≥0恒成立，
∴a≤e^x-x恒成立，
设h（x）=e^x-x，则h′（x）=e^x-1，
令h′（x）＞0，解得：x＞0，
令h′（x）＜0，解得：x＜0，
∴h（x）在（-∞，0）递减，在（0，+∞）递增，
∴h（x）_min=h（0）=1，
∴a≤1．