Question

如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点O是斜边AB上一动点，以OA为半径作⊙O与AC边交于点P，（1）

如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点O是斜边AB上一动点，以OA为半径作⊙O与AC边交于点P，（1）当OA=52时，求点O到BC的距离；（2）如图1，当OA=158时，求证：直线BC与⊙O相切；此时线段AP的长是多少？（3）若BC边与⊙O有公共点，直接写出OA的取值范围；（4）若CO平分∠ACB，则线段AP的长是多少？

Answer 1

（1）在Rt△ABE中，AB＝

AC2+BC2

＝

32+42

＝5．（1分）
过点O作OD⊥BC于点D，则OD∥AC，
∴△ODB∽△ACB，∴

OD

AC

＝

OB

AB

，∴

OD

3

＝

5? 5 2

5

，∴OD＝

3

2

，
∴点O到BC的距离为

3

2

．（3分）

（2）证明：过点O作OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F，
∵△OEB∽△ACB，∴

OE

AC

＝

OB

AB

∴

OE

3

＝

5? 15 8

5

，∴OE＝

15

8

．
∴直线BC与⊙O相切．（5分）
此时，四边形OECF为矩形，
∴AF=AC-FC=3-

15

8

=

9

8

，
∵OF⊥AC，∴AP=2AF=

9

4

．（7分）

（3）

15

8

≤OA≤

5

2

；（9分）

（4）过点O作OG⊥AC于点G，OH⊥BC于点H，
则四边形OGCH是矩形，且AP=2AG，
又∵CO平分∠ACB，∴OG=OH，∴矩形OGCH是正方形．（10分）
设正方形OGCH的边长为x，则AG=3-x，
∵OG∥BC，∵△AOG∽△ABC，
∴

OG

BC

＝

AG

AC

，∴AG＝

3

4

x，
∴3?x＝

3

4

x，∴