Question

选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，O为极点，半径为2的圆C的圆心的极坐标为(2，π3)．（1）求圆C的

选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，O为极点，半径为2的圆C的圆心的极坐标为(2，π3)．（1）求圆C的极坐标方程；（2）P是圆C上一动点，点Q满足3OP＝OQ，以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，求点Q的轨迹的直角坐标方程．

Answer 1

（1）设M（ρ，θ）是圆C上任一点，过C作CH⊥OM于H点，则在RT△COH中，OH=OCsin∠COH，而∠COH=∠COM=|θ-

π

3

|，
OH=

1

2

OM=

1

2

ρ，OC=2，所以

1

2

ρ=2cos|θ-

π

3

|，即ρ=4cos（θ-

π

3

）为圆C的极坐标方程．
（2）设Q的极坐标为（ρ，θ），由于3

OP

＝

OQ

，所以点P的极坐标为（

1

3

ρ，θ），代入（1）中方程得

1

3

ρ=4cos（θ-

π

3

）
即ρ=6cosθ+6

3

sinθ，∴ρ²=6ρcosθ+6

3

ρsinθ，
所以点Q的轨迹的直角坐标方程为x²+y²-6x-6

3

y=0．