Question

求解一道高中导数题 如下图

21题第二问实在做不出来求思路求方法 小弟感激不尽 有时间的高手麻烦再指导几个常用的缩放公式
要是能有带入特值问题的常用解法就更好了

Answer 1

这一题呢，关键是ln（n+1）的转化问题。

看求和的内容，是1/k
求和能和什么联想到一起呢？自然是积分
ln（n+1）可看成是1/x在1到n+1上的积分，因为ln1=0，ln（n+1）=ln（n+1）-ln（1）
而lnx的导数就是1/x
做出1/x的曲线，把曲线按横坐标以1为单位分割成各个小区域，那么ln（n）-ln（n-1）就对应这x=n-1到x=n这段函数的积分，也就是曲线往下到x轴在x=n-1和x=n这两条直线间的面积，把从n-1到n的距离1看成高，那么这段区域的面积显然比以1/n为边长、以1为另一边长的矩形面积1/n要大，而比以1/（n-1）为边长、以1为另一边长的矩形面积1/（n-1）要小。
也就是1/n＜ln（n）-ln（n-1）＜1/（n-1）。
好，再看要证明的不等式，先看左边的，
ln（n+1）可以变成
ln（n+1）-ln1=ln（n+1）-ln（n）+ln（n）-ln（n-1）+ln（n-1）-ln（n-2）+……+ln2-ln1
ln（n+1）-∑1/k=[ln（n+1）-ln（n）-1/n]+[ln（n）-ln（n-1）-1/（n-1）]+[ln（n-1）-ln（n-2）-1/（n-2）]+……+[ln2-ln1-1]
前面已经证明了ln（n）-ln（n-1）＜1/（n-1）
那么ln（n+1）-∑1/k=[ln（n+1）-ln（n）-1/n]+[ln（n）-ln（n-1）-1/（n-1）]+[ln（n-1）-ln（n-2）-1/（n-2）]+……+[ln2-ln1-1]中的每一个中括号内的都是小于0的，所以ln（n+1）-∑1/k＜0，即
ln（n+1）＜∑1/k得证。
同理，右边的不等式可以变成差不多的形式，不过在减的时候，要错位一下，比如ln（n）-ln（n-1）-1/（n-1）就要变成ln（n）-ln（n-1）-1/n，因为这样就变成大于0了。而求和里多出的第一项1就跟（2n-1）/（2n）中抵消掉了（2n-1）/（2n）变成-1/（2n）
即ln（n+1）+（2n-1）/（2n）-∑1/k=[ln（n+1）-ln（n）-1/（2n）]+[ln（n）-ln（n-1）-1/n]+[ln（n-1）-ln（n-2）-1/（n-1）]+……+[ln2-ln1-1/2]
[ln（n）-ln（n-1）-1/n]+[ln（n-1）-ln（n-2）-1/（n-1）]+……+[ln2-ln1-1/2]＞0，可以由已证明的1/n＜ln（n）-ln（n-1）得到。
而因为n≥1，那么ln（n+1）-ln（n）-1/（2n）≥ln（n+1）-ln（n）-1/（n+1）＞0
所以ln（n+1）+（2n-1）/（2n）-∑1/k＞0
即∑1/k＜ln（n+1）+（2n-1）/（2n）。
这道题关键是利用几何图形判断出1/n＜ln（n）-ln（n-1）＜1/（n-1）
当然，不利用集合图形也是可以的，只是曲线图像看起来很直观。
1/n＜ln（n）-ln（n-1）=ln（1+1/（n-1））＜1/（n-1）
可以通过证明1/x＜ln（x）-ln（x-1）=ln（1+1/（x-1））＜1/（x-1）来证明，只要1/x＜ln（x）-ln（x-1）=ln（1+1/（x-1））＜1/（x-1）成立，当x=n时，自然1/n＜ln（n）-ln（n-1）=ln（1+1/（n-1））＜1/（n-1）也成立。
分别有函数F（x）=ln（1+1/（x-1））-1/x和G（x）=ln（1+1/（x-1））-1/（x-1）
求导，得到F‘（x）＜0，G’（x）＞0，而极限x趋向正无穷limF（x）=0，limG（x）=0
所以得到F（x）＞0，G（x）＜0，因为F（x）单调递减直到无限接近0，而G（x）单调递增直到无限接近0显然两函数本身就是F（x）＞0，G（x）＜0才能满足。
两种办法，自己看着用。

Answer 2

看来你该去精锐辅导辅导啦。