Question

如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠ACB=90°，OA、OB的长分别是一元二次

如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠ACB=90°，OA、OB的长分别是一元二次方程x 2 ﹣25x+144=0的两个根（OA＜OB），点D是线段BC上的一个动点（不与点B、C重合），过点D作直线DE⊥OB，垂足为E． （1）求点C的坐标．（2）连接AD，当AD平分∠CAB时，求直线AD的解析式．（3）若点N在直线DE上，在坐标系平面内，是否存在这样的点M，使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）C（0，12）。 （2） 。 （3）存在点M，使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形， 点M的坐标是（28，16）或（14，14）或（﹣12，﹣4）或（2，﹣2）。

试题分析：（1）解一元二次方程，求得OA、OB的长，证△AOC∽△COB，推出OC 2 =OA?OB，即可得出答案。 解x 2 ﹣25x+144=0得x=9或x=16， ∵OA、OB的长分别是一元二次方程x 2 ﹣25x+144=0的两个根（OA＜OB）， ∴OA=9，OB=16。 在Rt△AOC中，∠CAB+∠ACO=90°， 在Rt△ABC中，∠CAB+∠CBA=90°， ∴∠ACO=∠CBA。 ∵∠AOC=∠COB=90°，∴△AOC∽△COB。∴OC 2 =OA?OB。∴OC=12， ∴C（0，12）。 （2）应用相似三角形求得点D 的坐标，应用待定系数法即可求得直线AD的解析式。 在Rt△AOC和Rt△BOC中，∵OA=9，OC=12，OB=16，∴AC=15，BC=20。 ∵DE⊥AB，∴∠ACD=∠AED=90°。 又∵AD平分∠CAB，AD=AD，∴△ACD≌△AED。∴AE=AC=15。 ∴OE=AE﹣OA=15﹣9=6，BE=10。 ∵∠DBE=∠ABC，∠DEB=∠ACB=90°，∴△BDE∽△BAC。 ∴ ，即 ，解得 。 ∴D（6， ）。 设直线AD的解析式是y=kx+b， 将A（﹣9，0）和D（6， ）代入得： ，解得 。 ∴直线AD的解析式是： 。 （3）存在点M，使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形。 ① 以BC为对角线时，作BC的垂直平分线交BC于Q，交x轴于F，在直线FQ上取一点M，使∠CMB=90°，则符合此条件的点有两个， BQ=CQ= BC=10， ∵∠BQF=∠BOC=90°，∠QBF=∠CBO， ∴△BQF∽△BOC。∴ 。 ∵BQ=10，OB=16，BC=20，∴BF= 。 ∴OF=16﹣ = 。∴F（ ，0）。 ∵OC=12，OB=16，Q为BC中点，∴Q（8，6）。 设直线QF的解析式是y=ax+c， 代入得： ，解得 。 ∴直线FQ的解析式是： 。 设M的坐标是（x， ）， 根据CM=BM和勾股定理得：（x﹣0） 2 +（ ﹣12） 2 =（x﹣16） 2 +（ ﹣0） 2 ， 解得x 1 =14，x 2 =2。 ∴M的坐标是（14，14），（2，﹣2）。 ②以BC为一边时，过B作BM 3 ⊥BC，且BM 3 =BC=20，过M 3 Q⊥OB于Q，还有一点M 4 ，CM 4 =BC=20，CM 4 ⊥BC， 则∠COB=∠M 3 B=∠CBM 3 =90°。 ∴∠BCO+∠CBO=90°， ∠CBO+∠M 3 BQ=90°。 ∴∠BCO=∠M 3 BQ。 ∵在△BCO和△M 3 BQ中， ， ∴△BCO≌△M 3 BQ（AAS）。 ∴BQ=CO=12，QM 3 =OB=16， OQ=16+12=28， ∴M 3 的坐标是（28，16）。 同法可求出CT=OB=16，M 4 T=OC=12，OT=16﹣12=4， ∴M 4 的坐标是（﹣12，﹣4）。 综上所述，存在点M，使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形， 点M的坐标是（28，16）或（14，14）或（﹣12，﹣4）或（2，﹣2）。