Question

如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD．（1）求证：直线AB是⊙

如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）试猜想BC，BD，BE三者之间的等量关系，并加以证明；（3）若tan∠CED=12，⊙O的半径为3，求OA的长．

Answer 1

（1）证明：如图，连接OC，（1分）
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，（2分）
∴AB是⊙O的切线．（3分）

（2）解：BC²=BD?BE．（4分）
证明：∵ED是直径，
∴∠ECD=90°，
∴∠E+∠EDC=90°．
又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC（OC=OD），
∴∠BCD=∠E．（5分）
又∵∠CBD=∠EBC，
∴△BCD∽△BEC．（6分）
∴

BC

BE

＝

BD

BC

．
∴BC²=BD?BE．（7分）

（3）解：∵tan∠CED=

1

2

，
∴

CD

EC

＝

1

2

．
∵△BCD∽△BEC，
∴

BD

BC

＝

CD

EC

＝

1

2

．（8分）
设BD=x，则BC=2x，
∵BC²=BD?BE，
∴（2x）²=x?（x+6）．（9分）
∴x₁=0，x₂=2．
∵BD=x＞0，
∴BD=2．
∴OA=OB=BD+OD=3+2=5．（10分）