Question

设A=（α1，α2，α3，α4）为4阶方阵，其中α1，α2，α3，α4是4维列向量，且α2，α3，α4线性无关，

设A=（α1，α2，α3，α4）为4阶方阵，其中α1，α2，α3，α4是4维列向量，且α2，α3，α4线性无关，α4=α1+α2+α3．已知向量β=α1+α2+α3+α4，试求线性方程组Ax=β的通解．

Answer 1

由α₄=α₁+α₂+α₃知A列向量组线性相关，
从而R（A）＜4，
因α₂，α₃，α₄线性无关，
则R（A）≥3，故R（A）=3，
由β=α₁+α₂+α₃+α₄知，η＝

1 1 1 1

为Ax=β一个特解，
由α₄=α₁+α₂+α₃，得ξ＝

1 1 1 ?1

为Ax=0一个解，
由R（A）=3知Ax=0的基础解系中有4-3=1个向量，
从而ξ就构成Ax=0的基础解系，
由线性方程组解的结构知Ax=β的通解为x＝k

1 1 1 ?1

+

1 1 1 1

．