Question

如图所示，在平面直角坐标系中，点A(0，2)点B(-4,0),OD=3OA,点B与点C关于y轴对称

如图所示，在平面直角坐标系中，点A(0，2)点B(-4,0),OD=3OA,点B与点C关于y轴对称，DE垂足于AB于E,DM=AB。
(1)求M的坐标
(2)求证AM=AC,AM垂足于AC
(求答案和过程)

Answer 1

解：⑴，过点M作MN⊥AD于N。
∵AB=MD，DE⊥AB，AO⊥BO。
∴∠ABO=∠MDN（同角的余角相等）。
RtΔAOB≌RtΔMDNAO=MN=2，BO=DN=4。
∵OD=3OAOD=6。
∴ON=2。
∴M的坐标为（-2，-2）。

⑵，∵点B与点C关于y轴对称OB=OC。
∵OB=DN=4，OD=3OA
∴AF=DN=4。
∴OC=DN=AN。
∵OA=MN。
∴RtAMN≌RtΔCOAAM=AC，∠MAN=∠ACO。
∵∠CAO+∠ACO=90°。
∴∠MAN+∠CAO=∠MAC=90°AM⊥AC。

Answer 2

解：(1)作MF⊥y轴于点F。
∵DE⊥AB、x轴⊥y轴
∴∠ABO+∠BAD=90°=∠ADB+∠BAD
∴∠ABO=∠ADB
∵∠AOB=∠MFD=90°, DM=AB
∴MF=OA=2,DF=OB=4
∴OF=OD-DF=3×2-4=2
∴点M的坐标为（-2, -2）。
(2)在Rt⊿AMF中，MF=2、AF=4
∴AM²=MF²+ AF²= 2²+ 4²=20
同理可得，AC²=20，MC²=40
∴AM²+ AC²= MC²，AM²=AC²
∴∠FAC=90°，AM=AC
∴AM、AC的关系是相等且垂直。