Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1，

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1， ）。
（1）求抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的对称轴与轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标；（3）若点E是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），分别连接AC、BC，过点E作EF∥AC交线段BC于点F，连接CE，记△CEF的面积为S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由。

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Answer 1

解：（1）∵抛物线的顶点为（1， ）， ∴设抛物线的函数关系式为y=a（x-1） 2 + ， ∵抛物线与y轴交于点C（0，4）， ∴a（0-1） 2 + =4，解得a=- ， ∴所求抛物线的函数关系式为y=- （x-1） 2 + ； （2）解：P 1 （1， ），P 2 （1，- ），P 3 （1，8），P 4 （1， ）； （3）解：令- （x-1） 2 + =0，解得x 1 =-2，x 1 =4， ∴抛物线y=- （x-1） 2 + 与x轴的交点为A（-2，0）C（4，0）， 过点F作FM⊥OB于点M， ∵EF∥AC， ∴△BEF∽△BAC， ∴ ， 又∵OC=4，AB=6， ∴MF= ×OC= EB， 设E点坐标为（x，0），则EB=4-x，MF= （4-x）， ∴S=S △BCE -S △BEF = EB·OC- EB·MF = EB（OC-MF） = （4-x）[4- （4-x）] =- x 2 + x+ =- （x-1） 2 +3， ∵a=- ＜0，∴S有最大值， 当x=1时，S 最大值 =3， 此时点E的坐标为（1，0）。