Question

已知函数f(x)＝3x?13x+1．（1）证明f（x）为奇函数；（2）判断f（x）的单调性，并用定义加以证明

已知函数f(x)＝3x?13x+1．（1）证明f（x）为奇函数；（2）判断f（x）的单调性，并用定义加以证明．

Answer 1

（1）证明：函数的定义域为R
∵f（-x）=

3?x?1

3?x+1

=

1?3x

1+3x

=-f（x）
∴f（x）为奇函数
（2）在定义域上是单调增函数；
设x₁＜x₂
∵f(x)＝

3x?1

3x+1

=1?

2

3x+1

，
∴f（x₁）-f（x₂）=

2

3x2+1

?

2

3x1+1

=

2(3x1?3x2)

(1+3x1)(1+3x2)

∵x₁＜x₂
∴0＜3x1＜3x2
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）单调递增