Question

已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，点A1到平面DBEF的距离______

已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，点A1到平面DBEF的距离______．

Answer 1

建立空间直角坐标系D-xyz，则B（1，1，0），E（

1

2

，1，1），F（0，

1

2

，1），
设

n

=（x，y，z）是平面BDFE的法向量，由

n

⊥

DB

，

n

⊥

DF

，

DB

=（1，1，0），

DF

=（0，

1

2

，1）得：

n

?

DB

=x+y=0

n

?

DF

=

1

2

y+z=0
所以：x=-yz=-

y

2

令y=1，得

n

=（-1，1，

1

2

），
设点A在平面BDFE上的射影为H，
连接A₁D，A₁D是平面BDFE的斜线段，
则：cos＜

A1D

，

A1H

＞=

2

2

，
所以|

A1H

|＝|

A1D

|?cos＜

A1D

，

A1H

＞=1所以点A₁到平面DBEF的距离为1；
故答案为：1