Question

在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G,H分别是棱AB,CC1，D1A1，BB1的中点1证明 FH∥平面A1EG

2 证明 AH⊥EG

Answer 1

1

∵ABCD-A1B1C1D1是正方体

  F,H分别是CC1,BB1中点

∴FH//B1C1

又B1C1//A1G

∴FH//AG

∵FH不在平面A1EG内

  A1G在平面A1EG内

∴FH∥平面A1EG

2

∵E,H分别是AB,BB1中点

  ABB1A1是正方形

∴ΔABH≌ΔA1AE

∴∠HAB=∠AA1E

∴∠HAB+∠A1EA=90º

∴AH⊥A1E

∵ABCD-A1B1C1D1是正方体

∴GA1⊥平面ABB1A1

∴AH⊥GA1

∴AH⊥平面A1GE

∵EG在平面A1GE内

∴AH⊥EG 

 

Answer 2

 

如图，（1）取CD中点M，连结EM，MD1，

∵EM∥AD，A1D1∥AD

∴EM∥A1D1

∵G是A1D1上的点，

∴平面A1EG即平面AA1D1D

∵HF∥BC，ME∥BC，

∴HF∥ME，

∴FH∥平面A1EG

 

（2）∵△ABH≌△A1AE，

∴∠AA1E=∠BAH

∴∠AA1E+∠A1AH=∠BAH+∠A1AH=90°，

∴AH⊥A1E，

∵A1D1⊥平面AA1B1B，

∴A1D1⊥AH

∴AH⊥平面A1D1ME，

∴AH⊥EG

 

 

Answer 3

1.因为FH//B1C1//A1G所以FH//平面A1EG
2.证三角形A1AE全等于三角形ABH，可得AH垂直于A1E，所以AH垂直平面A1EG,所以AH垂直于EG

Answer 4

A（2,0,2）B（0,0,2）C（0,2,2）D（2,2,2） E（0,0,1）F（0,2,1）G（2,2,1）向量AF=（-2,2,-1）设平面A1EFD1的法向量n=（x,