Question

在棱长为1的正方形体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是D1D,BD的中点,且CG=1/4CD,H为C1G的中点，

应用空间向量方法求解下列问题：（1）求证：EF垂直B1C;(2)求EF与C1G所成的角的余弦；（3）求FH的长。

Answer 1

以A1为原点，A1B1为x轴，A1D1为y轴，A1A为z轴，建立空间直角坐标系A1—xyz
则有A1(0,0,0)，E(0,1,1/2)，F(1/2,1/2,1)，B1(1,0,0)，C(1,1,1)，G(3/4,1,1)，H(7/8,1,1/2)
(1)由已知坐标得：向量EF=(1/2,-1/2,1/2)，向量B1C=(0,1,1)
所以向量EF*向量B1C=-1/2+1/2=0
所以EF垂直B1C
(2)可得：向量EF=(1/2,-1/2,1/2)，向量B1G=(-1/4,1,1)
所以cos<向量EF,向量B1G>=向量EF*向量B1G/(|向量EF|*|向量B1G|)
=(-1/8-1/2+1/2)/(根号3/2*根号33/4)=-根号11/33
所以EF与C1G所成的角的余弦为根号11/33
(3)可得向量FH=(3/8,1/2,-1/2)
所以FH=根号((3/8)²+(1/2)²+(-1/2)²)=根号41/8