Question

已知函数f（x）=-x3+ax2+1 （1）若f（x）在区间（0,2）上单调递增，在区间（2,+∞

已知函数f（x）=-x3+ax2+1
（1）若f（x）在区间（0,2）上单调递增，在区间（2,+∞）上单调递减，求a的值;

（2）若方程f（x）=ax2-12x-b有三个不同的实数解，求实数b的取值范围。
(๑¯ω¯๑)求解

Answer 1

原题是:函数f(x)=-x^3+ax^2+1.(1)函数在(0,2)单增,在(2,+∞)上单减,求a的值.
(2)方程f(x)=ax^2-12x-b有三个不同实数解,求b的范围.

(1)f'(x)=-3x^2+2ax
由已知得f'(2)=4a-12=0
解得 a=3
(2) f(x)=ax^2-12x-b
即-x^3+ax^2+1=ax^2-12x-b
x^3-12x-b-1=0
设g(x)=x^3-12x-b-1
g'(x)=3x^2-12=3(x+2)(x-2)
x<-2或x>2时,g(x)>0,g(x)在(-∞,-2)和(2,+∞)上分别单增;
-2<x<2时,g'(x)<0,g(x)在(-2,2)上单减,
g'(-2)=g'(2)=0
g(x)有极大值g(-2)=15-b,极小值g(2)=-17-b
得b可取的充要条件是:(15-b)(-17-b)<0
即-17<b<15
所以b的范围是-17<b<15

希望能帮到你！

Answer 2

(1) f(x)=-x^3+ax²+1
f'(x)=3x²+2ax
令f'(x)=0
3x²+2ax=0
x(x+2a/3)=0
若f(x)在区间(0，2)上单调递增，在区间(2，+∞)上单调递减
得 2a/3=-2
a=-3
(2) f(x)=ax²-12x-b
最多只能有2个实解