Question

求微分方程Y``-5Y`+6Y=e^x 的通解。

Answer 1

先求微分方程y``-5y`+6y=0的通解：
∵y``-5y`+6y=0
∴特征方程为r²-5r+6=0，则r1=2,r2=3
∴它的通解是 y=C1e^(2x)+C2e^(3x) (C1,C2是积分常数)
再求微分方程y``-5y`+6y=e^x的通解：
设它的一个特解为 y=Ae^x
则 y=y`y``=Ae^x
∴Ae^x-5Ae^x+6Ae^x=e^x
==>2Ae^x=e^x
==>2A=1
==>A=1/2
它的一个特解是 y=e^x/2
故微分方程y``-5y`+6y=e^x的通解是：
y=e^x/2+C1e^(2x)+C2e^(3x) (C1,C2是积分常数)

Answer 2

先求其对应二阶线性齐次微分方程Y``-5Y`+6Y=0的通解

其特征方程为r^2-5r+6=0

解得 r1=2,r2=3

对应齐次方程通解 Y(x)=C1*e^(2x)+C2*e^(3x)

设L(r)=r^2-5r+6,

ae^（λx）=e^x,得a=1，λ=1

L（λ）=2≠0

所以

y*（x）=a*e^(λx)/L(λ)=1*e^x/2=e^x/2

得原方程通解为 y=C1*e^(2x)+C2*e^(3x)+e^x/2

Answer 3

用Mathematica解的答案在图片上：