Question

三项均值不等式的详细证法

Answer 1

a+b+c=(3∧√a)^3+(3∧√b)^3+(3∧√c)^3≥3(3∧√a)(3∧√b)(3∧√c),即:a+b+c≥3*3∧√abc
先证两个数的情形;
(a+b)/2>=√(ab).(1)
(1)<=>(√a-√b)^2>=0(显然成立)
再证四个数的情形;
(a+b+c+d)/4>=(abcd)^(1/4)(2)
反复应用(1)得
(a+b+c+d)/4=[(a+b)/2+(c+d)/2]/2
>=(√(ab)+√(cd))/2>=√[√(ab)√(cd)]
=(abcd)^(1/4).
最后证三个数的情形;
(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3).
在(2)中取d=(a+b+c)/3,得
(a+b+c+(a+b+c)/3)/4>=(abc(a+b+c)/3d)^(1/4),
即(a+b+c)/3>=(abc(a+b+c)/3d)^(1/4),
两边4次方,并约去(a+b+c)/3得
[(a+b+c)/3]^3>=abc,
两边开立方,得
(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3)

Answer 2

a+b+c=(3∧√a)^3+(3∧√b)^3+(3∧√c)^3≥3(3∧√a)(3∧√b)(3∧√c),即:a+b+c≥3*3∧√abc

先证两个数的情形;

(a+b)/2>=√(ab). (1)

(1)<=>(√a-√b)^2>=0(显然成立)

再证四个数的情形;

(a+b+c+d)/4>=(abcd)^(1/4) (2)

反复应用(1)得

(a+b+c+d)/4=[(a+b)/2+(c+d)/2]/2

>=(√(ab)+√(cd))/2>=√[√(ab)√(cd)]

=(abcd)^(1/4).

最后证三个数的情形;

(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3).

在(2)中取d=(a+b+c)/3,得

(a+b+c+(a+b+c)/3)/4>=(abc(a+b+c)/3d)^(1/4) ,

即(a+b+c)/3>=(abc(a+b+c)/3d)^(1/4),

两边4次方,并约去(a+b+c)/3得

[(a+b+c)/3]^3>=abc,

两边开立方,得

(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3)

Answer 3

先证两个数的情形;
(a+b)/2>=√(ab). (1)
(1)<=>(√a-√b)^2>=0(显然成立)
再证四个数的情形;
(a+b+c+d)/4>=(abcd)^(1/4) (2)
反复应用(1)得
(a+b+c+d)/4=[(a+b)/2+(c+d)/2]/2
>=(√(ab)+√(cd))/2>=√[√(ab)√(cd)]
=(abcd)^(1/4).
最后证三个数的情形;
(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3).
在(2)中取d=(a+b+c)/3,得
(a+b+c+(a+b+c)/3)/4>=(abc(a+b+c)/3d)^(1/4) ,
即(a+b+c)/3>=(abc(a+b+c)/3d)^(1/4),
两边4次方,并约去(a+b+c)/3得
[(a+b+c)/3]^3>=abc,
两边开立方,得
(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3)