Question

设函数f（x）对任一实数x满足f（2+x）=f（2-x），f（7+x）=f（7-x），且f（0）=0

解：f（2+x）=f（2-x），f（7+x）=f（7-x） f（x）=f（4-x） f（x）=f（14-x） f（4-x）=f（14-x） 此处为什么两者可以直接相等，前面x=2+x,后面x=7+x,不是不一样吗

Answer 1

不建议理解成x=2+x,x=7+x,
f(2+x)=f(2-x)指的是对于任一个自变量x的值，将2+x与2-x带入函数解析式将得到同样的函数值f(2+x)与f(2-x)
这个推导过程是这样的，不妨设t=2+x，则x=t-2，于是f(t)=f(2+x)=f(2-x)=f(2-t+2)=f(4-t)，故有f(x)=f(4-x)，后者的推导与此相同。
f(x)=f(4-x)指对于任一个自变量x的值，x与4-x带入函数解析式将得到同样的函数值
f(x)=f(14-x)指对于任一个自变量x的值，x与14-x带入函数解析式将得到同样的函数值
所以，对于任一个自变量x的值，4-x与14-x带入函数解析式将得到同样的函数值，都与该自变量带入函数解析式得到的函数值f(x)相等。

Answer 2

f(2+x)=f(2-x)
令t=2+x,则x=t-2
所以f(t)=f(2-t+2)=f(4-t)
所以f(x)=f(4-x)
同理，由f（7+x）=f（7-x）可得 f(x)=f(14-x)
所以 f（4-x）=f（14-x）=f（x）