Question

若函数f(x)=(x-2)^2│x-a│在区间【2,4】上单调增,则实数a的取值范围是

急急急急急

Answer 1

f'(x)=2(x-2)|x-a|+(x-2)²|x-a|/(x-a)
=(x-2)|x-a|[2+(x-2)/(x-a)]
在[2,4]为增函数，则在此区间f'(x)>=0
即：2+(x-2)/(x-a)>=0
即：(2x-2a+x-2)/(x-a)>=0
(3x-2a-2)/(x-a)>=0
记x1=a, x2=(2a+2)/3
若x1>x2, 即a>2, 则解为x>=a, 或x<=(2a+2)/3,为使[2, 4]在解区间内，须有(2a+2)/3>=4, 得：a>=5.
若x1=x2,即a=2, 则不等式的解为R,符合；
若x1<x2, 即a<2, 则解为x<=a, 或x>=(2a+2)/3, 为使[2, 4]在解区间内，须有(2a+2)/3<=2, 得：a<=2
综合得a的取值范围是：a>=5, 或a<=2

Answer 2

f'(x)=2(x-2)|x-a|+(x-2)²|x-a|/(x-a)
=(x-2)|x-a|[2+(x-2)/(x-a)]
在[2,4]为增函数，则在此区间f'(x)>=0
即：2+(x-2)/(x-a)>=0
即：(2x-2a+x-2)/(x-a)>=0
(3x-2a-2)/(x-a)>=0
记x1=a,
x2=(2a+2)/3
若x1>x2,
即a>2,
则解为x>=a,
或x<=(2a+2)/3,为使[2,
4]在解区间内，须有(2a+2)/3>=4,
得：a>=5.
若x1=x2,即a=2,
则不等式的解为R,符合；
若x1<x2,
即a<2,
则解为x<=a,
或x>=(2a+2)/3,
为使[2,
4]在解区间内，须有(2a+2)/3<=2,
得：a<=2
综合得a的取值范围是：a>=5,
或a<=2

Answer 3

f'(x)=2(x-2)|x-a|+(x-2)²|x-a|/(x-a)
=(x-2)|x-a|[2+(x-2)/(x-a)]
在[2,4]为增函数，则在此区间f'(x)>=0
即：2+(x-2)/(x-a)>=0
即：(2x-2a+x-2)/(x-a)>=0
(3x-2a-2)/(x-a)>=0
记x1=a, x2=(2a+2)/3
若x1>x2, 即a>2, 则解为x>=a, 或x<=(2a+2)/3,为使[2, 4]在解区间内，须有(2a+2)/3>=4, 得：a>=5.
若x1=x2,即a=2, 则不等式的解为R,符合；
若x1<x2, 即a<2, 则解为x<=a, 或x>=(2a+2)/3, 为使[2, 4]在解区间内，须有(2a+2)/3<=2, 得：a<=2
综合得a的取值范围是：a>=5, 或a<=2