Question

lim（x,y）趋向于（0,0）sinxy/x 为什么不能用等价无穷小

Answer 1

你是说为什么不能lim(x,y)->(0,0) sin(xy)/y=lim(x,y)->(0,0) xy/y=lim(x,y)->(0,0) y=0吧？
因为(x,y)->(0,0)和xy->0不一样，比如lim(x,y)->(0,0) (xy)/y=0，但limxy->0 (xy)/y不存在，因为xy->0可以是x->0,y随便取，这样极限表达式的值就有无穷多种，我只要取两个不同的y值就可以证明极限不存在。
而sin(xy)~xy是在lim (xy)->0时成立的，所以对原问题这种做法虽然结果碰巧是对的，但是做法是错的，因为lim (xy)->0 sin(xy)/y可能根本不存在，一般这种题先用性质猜个值（有的用性质可以直接给出严格的结果，但是要注意性质使用的前提），再想办法用epsilon-delta语言证明极限存在且等于多少多少，因为题目很有可能在极限存在性上挖坑。

另外这是考试，方法比较局限，但肯定够用，值一般都很好猜，要么极限就不存在，而且证明做多了如果是选填可以直接看出来，如果是实际工程应用，碰到更复杂的多元函数，可以用matlab之类的数据处理软件画个图看看。

Answer 2

简单分析一下，答案如图所示