y´=x y y(0)=1此初值问题的解析解
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杭州彩谱科技有限公司
2020-07-03 广告
测色仪L、a、b、c、h的意思，L代表明暗度（黑白），a代表红绿色，b代表黄蓝色，c表示彩度（色彩饱和的程度或纯粹度），h表示色调角。测色仪，广泛应用于塑胶、印刷、油漆油墨、纺织、印染服装等行业的颜色管理领域，根据CIE色空间的Lab，Lc...
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（1）【解法一】
因为一阶微分方程 y′+P（x）y=Q（x） 的通解公式为
y=e-∫p（x）dx（∫Q（x）e∫p（x）dxdx+C），
所以 y′+ay=f（x） 的通解为
y=e-∫adx（∫f（x）e∫adxdx+C）=e-ax （∫f（x）eaxdx+C）=e-ax （F（x）+C），
其中，F（x） 是 f（x）eax 的任一原函数．
由 y（0）=0 可得，C=-F（0）．
所以 y（x）=e-ax （F（x）-F（0））=e-ax
∫
x
0
f(t)eatdt．
【解法二】
在方程 y′+ay=f（x） 两边同时乘以 eax，可得
eaxy′+aeax y=eaxf（x），
即 （eax y）′=eaxf（x）．
两边积分可得，
eaxy ＝
∫
x
0
eatf(t)dt，
即：y（x）=e-ax
∫
x
0
f(t)eatdt．
（2）|y（x）|=e-ax|
∫
x
0
f(t)eatdt |
≤e-ax
∫
x
0
|f(t)|eatdt
≤ke-ax
∫
x
0
eatdt（∵|f（x）|≤k）
≤
k
a
e-ax（eax-1）
因为一阶微分方程 y′+P（x）y=Q（x） 的通解公式为
y=e-∫p（x）dx（∫Q（x）e∫p（x）dxdx+C），
所以 y′+ay=f（x） 的通解为
y=e-∫adx（∫f（x）e∫adxdx+C）=e-ax （∫f（x）eaxdx+C）=e-ax （F（x）+C），
其中，F（x） 是 f（x）eax 的任一原函数．
由 y（0）=0 可得，C=-F（0）．
所以 y（x）=e-ax （F（x）-F（0））=e-ax
∫
x
0
f(t)eatdt．
【解法二】
在方程 y′+ay=f（x） 两边同时乘以 eax，可得
eaxy′+aeax y=eaxf（x），
即 （eax y）′=eaxf（x）．
两边积分可得，
eaxy ＝
∫
x
0
eatf(t)dt，
即：y（x）=e-ax
∫
x
0
f(t)eatdt．
（2）|y（x）|=e-ax|
∫
x
0
f(t)eatdt |
≤e-ax
∫
x
0
|f(t)|eatdt
≤ke-ax
∫
x
0
eatdt（∵|f（x）|≤k）
≤
k
a
e-ax（eax-1）
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lny=1/2x^2+c
c=0
c=0
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