Question

求如下初值问题yy″＝1+y′2y(1)＝1，y′(1)＝0的解

求如下初值问题yy″＝1+y′2y(1)＝1，y′(1)＝0的解．

Answer 1

令p＝

dy

dx

，则y″＝

dp

dy

dy

dx

＝p

dp

dy

，
代入方程可得，

yp dp dy ＝1+y2 p|y＝1＝0

．
利用分离变量法可得，

pdp

1+p2

＝

dy

y

，
两边积分可得，

1

2

ln(1+p2)＝ln|y|+C1，
故p²=Cy²-1．
因为当y=1时，p=0，
所以C₁=1，
p＝

y2?1

．
由

dy

dx

＝p＝

y2?1

可得，

dy

y2?1

＝dx，
ln(y+

y2?1

)＝x+C2．
因为y（1）=1，所以C₂=-1．
因此，ln(y+

y2?1

)＝x?1，
即：y+

y2?1

＝ex?1．①
分子有理化可得，

1

y? y2?1

＝ex?1?y?

y2?1

＝e1?x．②

①+②

2

可得，y＝

1

2

(ex?1+e1?x)．
故原问题的解为：y＝

1

2

(ex?1+e1?x)．

Answer 2

解：设y'=p，则y''=p(dp/dy)
代入原方程得yp(dp/dy)=1+p²
==>pdp/(1+p²)=dy
==>ln(1+p²)=2ln│y│+c
(c是积分常数)
∵y(1)＝1，y'(1)=0
∴当x=1时，p=1
==>c=0
∴ln(1+p²)=2ln│y│
==>1+p²=y²
==>y'=√(y²-1)，或y'=-√(y²-1)
==>dy/√(y²-1)=dx，或dy/√(y²-1)=-dx
==>ln│y+√(y²-1)│=x+c，或ln│y+√(y²-1)│=-x+c
（c是积分常数）
∵y(1)＝1
∴c=-1，或c=1
==>y+√(y²-1)=e^(x-1)，或y+√(y²-1)=e^(1-x)
故原方程满足初值的解是y+√(y²-1)=e^(x-1)，或y+√(y²-1)=e^(1-x)。