Question

已知条件概率密度函数和x的边缘概率密度函数， 求y的边缘密度函数

已知：
f(x)=3*x^(-4), x大于等于1
f(y|x)=x^(-1), y大于等于0、小于等于x
求：
f(y)和f(x|y)
希望能有详细步骤，谢谢

我的想法是求f(xy)=f(x)*f(y|x)，得f(xy)=3*x^(-5)，然后在1到正无穷上对x积分得到f(y)，但算出来是常数3/4，不知道问题在哪儿。

Answer 1

问题在于，你求出f(xy)之后的积分范围不应该是1到正无穷，这时候需要注意的条件是y是小于等于x的，所以这时候你的积分范围应该是y到正无穷，这时候算出来的自然是带y的式子。

追问

谢谢，这样算出来的是3/4*y^(-4)，但在［0，正无穷］上对f(y)积分得到结果也不为1啊。。

追答

因为你要算的是F(y)这是个积分函数，一般情况它是用y表示的，显然不是它为1。
你要求为1的实际上是它在它定义域的最大值时为1或者趋向于无穷大的时候趋向于1。
另外我原本说的也不全面，这个题积分范围实际是要分类的，分为y是否大于1。
y大于1时x积分为从y开始，若不大于1，还是要按x原下限1计算的。
具体来讲是
f(y) =∫x~(1,+∞) f(xy) dx=3/4 y∈(0,1)
=∫x~(y,+∞) f(xy) dx=3/4*y^(-4) y∈[1,+∞)
即f(y)是以上的分段函数。
也很容易检验，此时f(y)在第一段的积分为3/4，第二段积分为1/4，此时总概率即分布函数在y
趋向于+∞的时候为1。

Answer 2

分为y∈(O，1)，这时fY=3/4。y∈(1，无穷)，fY=3y^(-4)/4，你可以发现两段积分恰恰为1