Question

高数证明题 证明不等式：当x>0时，e^-x<1-x+x²/2。

Answer 1

证明:当x>0时,成立不等式x/(1+x²)证明：设y=x/(1+x²)-arctanx,由于y'=[(1+x²)-2x²]/(1+x²)²-1/(1+x²)=(1-x²)/(1+x²)²-1/(1+x²)
=[(1-x²)-(1+x²)]/(1+x²)²=-2x²/(1+x²)<0,故y是减函数；当x=0时,y=0；当x>0时必有y<0；
即不等式x/(1+x²)0时成立；
再设u=arctanx-x,由于u'=1/(1+x²)-1=-x²/(1+x²)<0,故u也是减函数；当x=0时u=0；故当x>0时
必有u=arctanx-x<0,即不等式arctanx0时成立.
于是命题得证.

Answer 2

设x=-x
根据Taylor展开可近似计算e^x的值：
e^x=1+x+(1/2!)*x^2+(1/3!)*x^3+(1/4!)*x^4+…
=1+x+（x^2/2）+...>右边
所以,e^x>1+x+（x^2/2）