Question

求f(x)=－x²+4x+3在[t,t+1]上的最值,最小值用g(t)表示,求g(t)的解析式

Answer 1

解：
f(x)=-x²+4x+3=-x²+4x-4+7=-(x-2)²+7
对称轴x=2，二次项系数-1<0，函数图像开口向下，对称轴左边单调递增，右边单调递减
t+1≤2时，即t≤1时，f(x)单调递增
g(t)=f(t)=-t²+4t+3
t≥2时，f(x)单调递减
g(t)=f(t+1)=-(t+1)²+4(t+1)+3=-t²+2t+6
1<t<2时，
f(t)=-t²+4t+3，f(t+1)=-t²+2t+6
f(t+1)-f(t)=(-t²+2t+6)-(-t²+4t+3)=-2t+3
令-2t+3≥0，得t≤3/2，又t>1，因此1<t≤3/2，此时g(t)=f(t)
令-2t+3<0，得：t>3/2，又t<2，因此3/2<t<2，此时g(t)=f(t+1)
综上，得：
g(t)=-t²+4t+3，(t≤3/2)
-t²+2t+6，(t>3/2)