Question

求方程2yy''=y'^2+y^2满足条件y(0)=1,y'(0)=-1的特解

Answer 1

y=e^(-x)。

设y'=p(y),则y''=dp/dy*p,

方程2yy''=y'^2+y^2化为2pyp'=p^2+y^2,①

由2pyp'=p^2得2p'/p=dy/y,

2lnp=lny+lnc,

p^2=cy,p=土√(cy),

设p=土√[yc(y)],则p'=土[c(y)+yc'(y)]/{2√[yc(y)]},

代入①，y[c(y)+yc'(y)]=yc(y)+y^2,

所以c'(y)=1,

c(y)=y+c,

所以y'=土√(y^2+cy),y'(1)=-1,

所以-1=-√(1+c),c=0.

所以y'=-y

所以,y=e^(-x)+c1,

y(0)=1,所以c1=0,

所以y=e^(-x).

数学术语：

使得方程中等号两边相等的未知数的值叫做方程的解；

也可以说是方程中未知数的值叫做方程的解。

只含有一个未知数的方程的解叫方程的根。

x=2 是方程2x-4=0的解，也是该方程的根。

以上内容参考：百度百科- 方程的解

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

[这个题，武忠祥老师一句丢解可能让我等小辈费解半天]

Answer 4

这就是个烂题，根本就积不出u这个原函数，没有意义，u是个常数，导数为零，结果题目让它等于(1-u2)/2yu，就成了纯粹的凑数了，一点儿微分方程的知识思路都没有了，按照正常的微分方程思路推出u的原函数和这题目矛盾了都，这种题即便是真题也是个烂题，不做也罢！

Answer 5

全书上的解答是对的，u等于+-1时是常函数，所以du/dy等于0，你也可以把最后结果代进去，会发现u的确是常函数＝-1