数列{xn}有界,又lim yn=0,证明lim xnyn=0
展开全部
解:证明:
∵数列{Xn}有界,因此:
∀ Xn∈{Xn},∃ M>0,当 n>N1时(N1∈N),
∴|Xn|≤ M成立
又∵lim(n→∞) Yn = 0
∴∀ ε' >0,∃ N2∈N,当 n>N2时,必有:
|Yn- 0| < ε'成立
即:|Yn|< ε'
显然:
|Xn|·|Yn| < ε'M 成立,此时n=max{N1,N2}
令ε=ε'M,则:
∀ ε>0
|Xn|·|Yn| = |XnYn| < ε 恒成立
∴必有:
lim(n→∞) XnYn =0
∵数列{Xn}有界,因此:
∀ Xn∈{Xn},∃ M>0,当 n>N1时(N1∈N),
∴|Xn|≤ M成立
又∵lim(n→∞) Yn = 0
∴∀ ε' >0,∃ N2∈N,当 n>N2时,必有:
|Yn- 0| < ε'成立
即:|Yn|< ε'
显然:
|Xn|·|Yn| < ε'M 成立,此时n=max{N1,N2}
令ε=ε'M,则:
∀ ε>0
|Xn|·|Yn| = |XnYn| < ε 恒成立
∴必有:
lim(n→∞) XnYn =0
推荐律师服务:
若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询